【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設(shè)點．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程；

（3）過原點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值，并求此時直線的方程．

【答案】（1）（2）（3）面積的最大值為，

【解析】

試題（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；（2）分別設(shè)點P，線段PA的中點M（x，y）．利用中點坐標(biāo)公式及“代點法”即可得出；（3）對直線BC的斜率分存在于不存在兩種情況討論，當(dāng)直線BC的斜率存在時，把直線BC的方程與橢圓的方程聯(lián)立，解得點B，C的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式即可得出|BC|，再利用點到直線的距離公式即可得出點A到直線BC的距離，利用三角形的面積計算公式即可得出，再利用導(dǎo)數(shù)得出其最值

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為

由題意可知：，

故

所以橢圓的方程為：

（2）設(shè)，則有：

①

又因為：②

將②代入①得到點的軌跡方程：

（3）當(dāng)直線的斜率不存在時，

當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為：設(shè)

由

不妨設(shè)，則

設(shè)點到直線的距離為，則：

=

當(dāng)時，

當(dāng)時，

上式當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立

綜上可知，面積的最大值為，此時直線的方程為：

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】目前，某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)是：路程以內(nèi)（含）按起步價8元收取，超過后的路程按1.9元收取，但超過后的路程需加收的返空費(fèi)（即單價為元）

（1）若，將乘客搭乘一次出租車的費(fèi)用（單位：元）表示為行程（單位：）的分段函數(shù)；

（2）某乘客行程為，他準(zhǔn)備先乘一輛出租車行駛，然后再換乘另一輛出租車完成余下路程，請問：他這樣做是否比只乘一輛出租車完成全程更省錢？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=-x2+ax.

(1)若a=-2,求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù),

①求a的取值范圍;

②若對任意實數(shù)m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其圖像與軸切于非原點的一點，且該函數(shù)的極小值是，那么切點坐標(biāo)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】攀枝花是一座資源富集的城市，礦產(chǎn)資源儲量巨大，已發(fā)現(xiàn)礦種76種，探明儲量39種，其中釩、鈦資源儲量分別占全國的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“釩鈦之都”的美稱．攀枝花市某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新合金材料，由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值（值越大產(chǎn)品的性能越好）與這種新合金材料的含量（單位：克）的關(guān)系為：當(dāng)時，是的二次函數(shù)；當(dāng)時，．測得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

（單位：克）

0

2

6

10

…

8

8

…

（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求該新合金材料的含量為何值時產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是( )

A. “f(0)”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的充要條件

B. 若p：，，則：，

C. “若，則”的否命題是“若，則”

D. 若為假命題，則p，q均為假命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知下列說法：

①命題“x0∈R，x＋1＞3x0”的否定是“x∈R，x2＋1＜3x”；

②已知p，q為兩個命題，若“p∨q”為假命題，則“￢p∧￢q”為真命題

③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要條件

④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題

其中正確說法的個數(shù)為(　　)

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， ，且．

（Ⅰ）當(dāng)時，證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)四棱錐的體積為，且二面角為鈍角時，求直線與平面所成角的正弦值．

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