Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形， ，AB⊥AD，AB∥CD，點M是PC的中點． （I）求證：MB∥平面PAD；
（II）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取PD中點H，連結MH，AH． 因為 M為 中點，所以 ．
因為 ．所以AB∥HM且AB=HM．
所以四邊形ABMH為平行四邊形，所以 BM∥AH．
因為 BM平面PAD，AH平面PAD，
所以BM∥平面PAD．
解：（Ⅱ） 取AD中點O，連結PO．
因為 PA=PD，所以PO⊥AD．
因為 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．取BC中點K，連結OK，則OK∥AB．
以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，
設AB=2，則 ， ．
平面BCD的法向量 ，
設平面PBC的法向量 ，
由 ，得 令x=1，則 ．
．
由圖可知，二面角P﹣BC﹣D是銳二面角，
所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取PD中點H，連結MH，AH．推導出四邊形ABMH為平行四邊形，從而BM∥AH，由此能證明BM∥平面PAD．（Ⅱ） 取AD中點O，連結PO．以O為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．