Question

【題目】已知動圓Q過定點F（0，﹣1），且與直線y=1相切；橢圓N的對稱軸為坐標軸，中心為坐標原點O，F是其一個焦點，又點（0，2）在橢圓N上．
（1）求動圓圓心Q的軌跡M的方程和橢圓N的方程；
（2）過點（0，﹣4）作直線l交軌跡M于A，B兩點，連結OA，OB，射線OA，OB交橢圓N于C，D兩點，求△OCD面積的最小值．
（3）附加題：過橢圓N上一動點P作圓x2+（y﹣1）2=1的兩條切線，切點分別為G，H，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，由拋物線的定義易得動點Q的軌跡M的標準方程為：x2=﹣4y，

依題意可設橢圓N的標準方程為 + =1（a＞b＞0），

顯然有c=1，a=2∴b= ，

∴橢圓N的標準方程為： ；

軌跡

（2）解：

所以x1x2+y1y2=0OA⊥OB

設 ，

所以 ，

同理可得： ，

所以 ，

令t=1+k2（t≥1）， ，

所以當

（3）解：設∠GPH=2α，圓x2+（y﹣1）2=1的圓心為E，如圖：

當P在橢圓上頂點時PE最小為1，在橢圓下頂點時，|PE|的最大值為3，PE∈[1，3]，

PEcosα=PG，sinα= ．

∴

= = ，當且僅當|PE|= 時取等號．

因為|PE|∈[1，3]，所以 ．

【解析】（1）由拋物線的定義可得動點Q的軌跡M的標準方程，由題意可得c=1，a=2，求得b，進而得到橢圓方程；（2）顯然直線m的斜率存在，不妨設直線m的直線方程為：y=kx﹣4，分別代入拋物線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，求得三角形的面積，再由不等式的性質，即可得到所求最小值．（3）設∠EPF=2α，求出 表達式，利用 的范圍，求解表達式的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．