【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ (a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的極值;
(3)求證:ln(n+1)> (n∈N*).
【答案】(1)y=2x(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)求導(dǎo)計(jì)算得切線斜率,進(jìn)而由點(diǎn)斜式求切線即可;
(2)由,令
,得x=-a-1,討論-a-1和定義域的關(guān)系求極值即可;
(3)當(dāng)a=-1時(shí),由(2)知,,令x=
(n∈N*),
,從而得證.
(1)解 當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln(x+1)+,
所以+
=
,
所以,
又f(0)=0,
所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x.
(2)解 +
= (x>-1).
令x+1+a=0,得x=-a-1.
若-a-1≤-1,即a≥0,
則>0恒成立,此時(shí)f(x)無(wú)極值.
若-a-1>-1,即a<0,
當(dāng)-1<x<-a-1時(shí),f′(x)<0,
當(dāng)x>-a-1時(shí),f′(x)>0,
此時(shí)f(x)在x=-a-1處取得極小值,
極小值為ln(-a)+a+1.
(3)證明 當(dāng)a=-1時(shí),由(2)知,f(x)min=f(0)=0,
所以ln(x+1)-≥0,即ln(x+1)≥
.
令x= (n∈N*),
則ln≥
=
,
所以ln≥
.
又因?yàn)?/span>-
=
>0,
所以>
,
所以ln>
,
所以ln+ln
+ln
+…+ln
>
+
+
+…+
,
即ln(n+1)>+
+
+…+
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立坐標(biāo)系,兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度.已知直線
的參數(shù)方程為
,曲線
的極坐標(biāo)方程為
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程
(2)設(shè)直線與曲線
相交于
兩點(diǎn),
時(shí),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來(lái)越深入人心,已形成了全民自覺(jué)參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出20人的樣本,并將這20人按年齡分組:第1組,第2組
,第3組
,第4組
,第5組
,得到的頻率分布直方圖如圖所示
(1)求a的值.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)參與調(diào)查人群的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)(保留兩位小數(shù)).
(3)若從年齡在的人中隨機(jī)抽取兩位,求兩人恰有一人的年齡在
內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·紹興仿真考試)已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d1的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d2的等差數(shù)列(其中d1,d2為整數(shù)),且對(duì)任意n∈N*,都有an<an+1,若a1=1,a2=2,且數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10=75,則d1=________,a8=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015·浙江卷)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=且an+1=an-
(n∈N*).
(1)證明:1≤≤2(n∈N*);
(2)設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Sn,證明:
(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),
,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).當(dāng)
時(shí),若
,
,不等式
成立,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,求
;
(3)令,若
對(duì)
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年春節(jié)突如其來(lái)的新型冠狀病毒肺炎在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我們執(zhí)行了延長(zhǎng)假期政策,在延長(zhǎng)假期面前,我們“停課不停學(xué)”,河南省教育廳組織部分優(yōu)秀學(xué)校的優(yōu)秀教師錄播《名師同步課堂》,我校高一年級(jí)要在甲、乙、丙、丁、戊5位數(shù)學(xué)教師中隨機(jī)抽取3人參加錄播課堂,則甲、乙兩位教師同時(shí)被選中的概率為( ).
A.B.
C.
D.
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