Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋ (a∈R)．

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的極值；

(3)求證：ln(n＋1)> (n∈N*)．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)計(jì)算得切線斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式求切線即可；

（2）由，令，得x＝－a－1，討論－a－1和定義域的關(guān)系求極值即可；

（3）當(dāng)a＝－1時(shí)，由(2)知，，令x＝ (n∈N*)，，從而得證.

(1)解　當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ln(x＋1)＋，

所以＋＝，

所以，

又f(0)＝0，

所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝2x.

(2)解　＋

＝ (x>－1)．

令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.

若－a－1≤－1，即a≥0，

則>0恒成立，此時(shí)f(x)無(wú)極值．

若－a－1>－1，即a<0，

當(dāng)－1<x<－a－1時(shí)，f′(x)<0，

當(dāng)x>－a－1時(shí)，f′(x)>0，

此時(shí)f(x)在x＝－a－1處取得極小值，

極小值為ln(－a)＋a＋1.

(3)證明　當(dāng)a＝－1時(shí)，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，

所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.

令x＝ (n∈N*)，

則ln≥＝，

所以ln≥.

又因?yàn)?/span>－＝>0，

所以>，

所以ln>，

所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，

即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.