Question

如圖所示，正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
(2)求二面角E-DF-C的余弦值；
(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論。

Answer 1

解：(1)在△ABC中，E、F分別是AC、BC的中點， ∴EF∥AB， 又AB平面DEF，EF平面DEF， ∴AB∥平面DEF。

(2)∵AD⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角， ∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD， 如圖，取CD的中點M，連接EM，則EM∥AD， ∴EM⊥平面BCD， 過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF， ∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角， 易知，在Rt△EMN中，EM=1，， ∴。 (3)在線段BC上存在點P，使AP⊥DE， 證明如下：如圖（甲），在線段BC上取點P，使， 過P點作PQ⊥CD于點Q，連接AQ， ∴PQ⊥平面ACD， ∴PQ⊥DE， ，且AD=2， ∴∠DAQ=30°， 又△ADE為等邊三角形， ∴AQ⊥DE， 又AQ∩PQ=Q， ∴DE⊥平面APQ， ∵AP平面APQ， ∴AP⊥DE．