Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間；單調(diào)遞減區(qū)間是，，極小值，極大值；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得函數(shù)的極值.

（2）對于任意的，總存在，使得，顯然

，故，設(shè)，，上式等價(jià)于，分類討論求出的取值范圍.

（1）由已知，有.令，解得或.

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		0
	-	0	+	0	-
		0

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間；單調(diào)遞減區(qū)間是，.

當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值；

當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值.

（2）由及（1）知，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.設(shè)集合，

集合，

則“對于任意的，都存在，

使得”等價(jià)于，顯然.下面分三種情況討論：

（i）當(dāng)，即時(shí)，由可知，，而，

所以不是的子集.

（ii）當(dāng)，即時(shí)，有，

且此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，因而.

由，有在上的取值范圍包含，則，所以.

（iii）當(dāng)，即時(shí)，有，且此時(shí)在上單調(diào)遞減，

故，，所以不是的子集.

綜上的取值范圍是.