Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）若在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若為正整數(shù)，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由題意得出，即可求出實(shí)數(shù)的值；

（2）由，可得出，對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號，可得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

（3）分、和三種情況討論，結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理來判斷出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得出整數(shù)的值.

（1）由題意，，則，

由于函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，

則，所以，因此，；

（2），則.

①若時(shí)，，

當(dāng)或時(shí)，，時(shí)，，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

②若時(shí)，，對，恒成立，在單調(diào)遞增；

③若時(shí)，，

當(dāng)或時(shí)，，時(shí)，，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（3）因?yàn)?/span>為正整數(shù)，

若，則，，

由（2）知在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又，所以在區(qū)間內(nèi)僅有實(shí)根，，

又，所以在區(qū)間內(nèi)僅有實(shí)根.

此時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恰有實(shí)根；

若，在單調(diào)遞增，至多有實(shí)根.

若，，

令，則，，，

所以.

由（2）知在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，

所以，所以在至多有實(shí)根.

綜上，.