Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．

（1）若直線(xiàn)l：x+y＝0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)；

（2）從圓C外一點(diǎn)P（x1，y1）向該圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）P（）

【解析】

（1）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可求出；

（2）因?yàn)?/span>|PM|＝|PO|，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，根據(jù)幾何知識(shí)可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線(xiàn)2x﹣4y+3＝0，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短，即求出|PM|取得最小值，再聯(lián)立直線(xiàn)2x﹣4y+3＝0和，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）圓C可化為（x+1）2+（y﹣2）2＝2，則圓心C（﹣1，2），

所以C到直線(xiàn)l的距離d，

則弦長(zhǎng)AB＝2；

（2）因?yàn)榍芯€(xiàn)PM與半徑CM垂直，所以|PM|2＝|PC|2﹣|CM|2，

又因?yàn)?/span>|PM|＝|PO|，則|PO|2＝|PC|2﹣|CM|2，即（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2＝x12+y12，

整理得2x1﹣4y1+3＝0，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線(xiàn)2x﹣4y+3＝0，

所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值．

而|PO|的最小值為原點(diǎn)O到直線(xiàn)2x﹣4y+3＝0的距離d，

過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)2x﹣4y+3＝0的方程為：

所以由，得，

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（）．