【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若直線(xiàn)l:x+y=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng);
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1,y1)向該圓引一條切線(xiàn),切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)(2)P(
)
【解析】
(1)根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可求出;
(2)因?yàn)?/span>|PM|=|PO|,所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值,根據(jù)幾何知識(shí)可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線(xiàn)2x﹣4y+3=0,所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短,即求出|PM|取得最小值,再聯(lián)立直線(xiàn)2x﹣4y+3=0和
,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(1)圓C可化為(x+1)2+(y﹣2)2=2,則圓心C(﹣1,2),
所以C到直線(xiàn)l的距離d,
則弦長(zhǎng)AB=2;
(2)因?yàn)榍芯(xiàn)PM與半徑CM垂直,所以|PM|2=|PC|2﹣|CM|2,
又因?yàn)?/span>|PM|=|PO|,則|PO|2=|PC|2﹣|CM|2,即(x1+1)2+(y1﹣2)2﹣2=x12+y12,
整理得2x1﹣4y1+3=0,所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線(xiàn)2x﹣4y+3=0,
所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
而|PO|的最小值為原點(diǎn)O到直線(xiàn)2x﹣4y+3=0的距離d,
過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)2x﹣4y+3=0的方程為:
所以由,得
,
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)
的極坐標(biāo)方程是
.
(1)求直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)
的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)
交于
兩點(diǎn),且
,求實(shí)數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,M是橢圓C的上頂點(diǎn),
,F(xiàn)2是橢圓C的焦點(diǎn),
的周長(zhǎng)是6.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P(1,t)作直線(xiàn)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|PA|=|PB|,過(guò)P作直線(xiàn)l,使l與直線(xiàn)AB垂直,證明:直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn),并求此定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)
,若線(xiàn)段QN的垂直平分線(xiàn)MQ于點(diǎn)P.
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程
(II)若A是軌跡E的左頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D(-3,8)的直線(xiàn)l與軌跡E交于B,C兩點(diǎn),求證:直線(xiàn)AB、AC的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知常數(shù),數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,
,
;
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,且
是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若,
,對(duì)于任意給定的正整數(shù)
,是否存在正整數(shù)
、
,使得
?若存在,求出
、
的值(只要寫(xiě)出一組即可);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)的圖像在點(diǎn)
處的切線(xiàn)與直線(xiàn)
平行,求實(shí)數(shù)
的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若在函數(shù)定義域內(nèi),總有
成立,試求實(shí)數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲,規(guī)則如下:先將一棋子放在如圖所示正方形(邊長(zhǎng)為2個(gè)單位)的頂點(diǎn)
處,然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶吡藥讉(gè)單位,如果擲出的點(diǎn)數(shù)為
,則棋子就按逆時(shí)針?lè)较蛐凶?/span>
個(gè)單位,一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)
處的所有不同走法共有( )
A.21種B.22種C.25種D.27種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商,對(duì)一次性購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的客戶(hù),推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案:方案一:交納延保金7000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次,超過(guò)2次每次收取維修費(fèi)2000元;方案二:交納延保金10000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次,超過(guò)4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)這種機(jī)器。現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)哪種延保方案,為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),得下表:
維修次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
臺(tái)數(shù) | 5 | 10 | 20 | 15 |
以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線(xiàn)上各抽取100件產(chǎn)品作為樣本稱(chēng)出它們的質(zhì)量(單位:毫克),質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.如表是甲流水線(xiàn)樣本頻數(shù)分布表,如圖是乙流水線(xiàn)樣本的頻率分布直方圖.
產(chǎn)品質(zhì)量/毫克 | 頻數(shù) |
(165,175] | 3 |
(175,185] | 2 |
(185,195] | 21 |
(195,205] | 36 |
(205,215] | 24 |
(215,225] | 9 |
(225,235] | 5 |
(Ⅰ)根據(jù)乙流水線(xiàn)樣本的頻率分布直方圖,求乙流水線(xiàn)樣本質(zhì)量的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));
(Ⅱ)從甲流水線(xiàn)樣本中質(zhì)量在的產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品,求兩件產(chǎn)品中恰有一件合格品的概率;
甲流水線(xiàn) | 乙流水線(xiàn) | 總計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計(jì) |
(Ⅲ)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的選擇有關(guān)?
下面臨界值表僅供參考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中n=a+b+c+d.
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