Question

【題目】(理)設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0實(shí)根的個(gè)數(shù)(重根按一個(gè)計(jì)).

(1)求方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率．

(2)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

(3)求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由題意知，本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6，滿足條件的事件是使方程有實(shí)根，則△=b2-4c≥0，對(duì)于c的取值進(jìn)行列舉，得到事件數(shù)，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（2）由題意知用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)得到ξ的可能取值0，1，2根據(jù)第一問做出的結(jié)果寫出變量對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列和期望．
（3）在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實(shí)根，這是一個(gè)條件概率，做出先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的概率和先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下且方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率，根據(jù)條件概率的公式得到結(jié)果．

試題解析：

(1)基本事件總數(shù)為6×6＝36，

若使方程有實(shí)根，則Δ＝b2－4c≥0，即．

當(dāng)c＝1時(shí)，b＝2,3,4,5,6；

當(dāng)c＝2時(shí)，b＝3,4,5,6；

當(dāng)c＝3時(shí)，b＝4,5,6；

當(dāng)c＝4時(shí)，b＝4,5,6；

當(dāng)c＝5時(shí)，b＝5,6；

當(dāng)c＝6時(shí)，b＝5,6，

目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，

因此方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率為．

(2)由題意知，ξ＝0,1,2，則

P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，

故ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．

(3)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，“方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)根”為事件N，則P(M)＝，P(MN)＝，

P(N|M)＝＝．