Question

【題目】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．

（）求雙曲線的方程；

（）若直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由雙曲線的右焦點為，右頂點為求出和,進而根據求得,則雙曲線方程可得；（2）把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去，利用判別式大于求得和的不等式關系，設的中點為，根據韋達定理表示出和，根據，可知的斜率為，進而求得和的關系，最后綜合可求得的范圍.

試題解析：（）設雙曲線方程為．

由已知得，，，

∴．

故雙曲線的方程為．

（）聯(lián)立，

整理得．

∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，

∴，

可得．（）

設、，的中點為．

則，，．

由題意，，∴．

整理得．（）

將（）代入（），得，

∴或．

又，即．

∴的取值范圍是．

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，屬于難題. 用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.