已知P()為函數(shù)
圖像上一點,O為坐標原點,記直線OP的斜率
。
(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設,求函數(shù)
的最小值。
(Ⅰ)在
上單調遞增,在
上單調遞減;(Ⅱ)函數(shù)
的最小值為
.
解析試題分析:(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間,首先確定函數(shù)
的解析式,由題意得函數(shù)
,
,求單調區(qū)間,由于含有對數(shù)函數(shù)可利用導數(shù)法,求導函數(shù)
,令
可得函數(shù)的單調增區(qū)間;令
,可得函數(shù)的單調減區(qū)間;(Ⅱ)求函數(shù)
的最小值,因為
,求導函數(shù)可得
,構造新函數(shù)
,確定
在
為單調遞增函數(shù),從而可求函數(shù)
的最小值.
試題解析:(Ⅰ),
,
,
故當即
時,
,當
時,
成立,
所以在
上單調遞增,在
上單調遞減。(4分)
(Ⅱ),
則,
設,則
,
故為
上的增函數(shù),(8分)
又由于,因此
且
有唯一零點1,
在
為負,在
值為正,
因此在
為單調減函數(shù),在
為增函數(shù),
所以函數(shù)的最小值為
。(13分)
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;導數(shù)的幾何意義;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
,其中
的函數(shù)圖象在點
處的切線平行于
軸.
(1)確定與
的關系; (2)若
,試討論函數(shù)
的單調性;
(3)設斜率為的直線與函數(shù)
的圖象交于兩點
(
)證明:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
甲、乙兩地相距1000,貨車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過80
,已知貨車每小時的運輸成本(單位:元)由可變成本和固定成本組成,可變成本是速度平方的
倍,固定成本為a元.
(1)將全程運輸成本y(元)表示為速度v()的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)為了使全程運輸成本最小,貨車應以多大的速度行駛?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù),其中
,
為正整數(shù),
、
、
均為常數(shù),曲線
在
處的切線方程為
.
(1)求、
、
的值;
(2)求函數(shù)的最大值;
(3)證明:對任意的都有
.(
為自然對數(shù)的底)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(Ⅰ)若與
在
處相切,試求
的表達式;
(Ⅱ)若在
上是減函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)證明不等式:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù),曲線
通過點(0,2a+3),且在
處的切線垂直于y軸.
(I)用a分別表示b和c;
(II)當bc取得最大值時,寫出的解析式;
(III)在(II)的條件下,若函數(shù)g(x)為偶函數(shù),且當
時,
,求當
時g(x)的表達式,并求函數(shù)g(x)在R上的最小值及相應的x值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù),
.
(1)若恒成立,求實數(shù)
的值;
(2)若方程有一根為
,方程
的根為
,是否存在實數(shù)
,使
?若存在,求出所有滿足條件的
值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在實數(shù)集R上定義運算:
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在R上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若,在
的曲線上是否存在兩點,使得過這兩點的切線互相垂直?若存在,求出切線方程;若不存在,說明理由.
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