Question

【題目】已知橢圓：（），過原點的兩條直線和分別與交于點、和、，得到平行四邊形.

（1）若，，且為正方形，求該正方形的面積.

（2）若直線的方程為，和關于軸對稱，上任意一點到和的距離分別為和，證明：.

（3）當為菱形，且圓內(nèi)切于菱形時，求，滿足的關系式.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由題意，直線和的方程為和，利用 ，可得 ，根據(jù)對稱性，求出正方形的面積；

（2）利用距離公式，結合為定值，即可證明結論；

（3）設出切線的方程與橢圓方程聯(lián)立，分類討論，即可求滿足的關系式．

[解]（1）因為為正方形，所以直線和的方程為和.

點、的坐標、為方程組的實數(shù)解，

將代入橢圓方程，解得.

根據(jù)對稱性，可得正方形的面積.

[證明]（2）由題設，直線的方程為，

于是，，.

[解]（3）設與圓相切的切點坐標為，于是切線的方程為.

點、的坐標、為方程組的實數(shù)解.

①當或時，均為正方形，橢圓均過點，于是有.

②當且時，將代入，

整理得，于是，

同理可得.

因為為菱形，所以，得，即，

于是，整理得，由，

得，即.

綜上，，滿足的關系式為.