Question

【題目】已知函數(為自然對數的底數，）,(,),

⑴若，．求在上的最大值的表達式；

⑵若時，方程在上恰有兩個相異實根，求實根的取值范圍；

⑶若，,求使得圖像恒在圖像上方的最大正整數．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)．

【解析】試題分析：(1)借助題設條件運用分類整合思想求解；(2)依據題設運用化歸轉化的數學思想進行探求；(3)依據題設構造函數,運用導數的知識求解．

試題解析：

(1)時，,

;

①當時，，在上為增函數，此時，

②當時，，在上為增函數，

故在上為增函數，此時…………………………………2分

③當時，，在上為增函數，在上為減函數，

若，即時，故在上為增函數，在上為減函數，

此時………………………………5分

若，即時，在上為增函數，則此時，

綜上所述：………………………………6分，

（2），，

在上單調遞減，在上單調遞增，……………7分

在上恰有兩個相異實根，

，

實數的取值范圍是，…………………………………10分

（3）由題設：,，（*）

，故在上單調遞減，在上單調遞增，

（*），

設，則，

在上單調遞增，在上單調遞減，…………………………12分

而，

且，

故存在，使，

且時，，時，，

又，，時，使的圖像恒在圖像的上方的最大整數………………14分．