Question

【題目】已知 (，且為常數(shù)).

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在區(qū)間內(nèi)，存在且時(shí)，使不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)

【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，分類(lèi)討論可得到的單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)知， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，∴不等式可化為，構(gòu)造新函數(shù)

，則在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為

有解，即有解，令，討論其性質(zhì)可得，故.

試題解析：

(1)∵ (且為常數(shù))，∴，∴①若時(shí)，當(dāng)，

；當(dāng)時(shí)， ，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

②若時(shí)，當(dāng)， ；當(dāng)時(shí)， ，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)由(1)知， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，∴不等式可化為，即，令，則在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴有解，即，∴有解，令，則，由得，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，∴，故.