Question

【題目】已知函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線方程與直線平行（其中），.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）求函數(shù)在（）上的最小值；

（Ⅲ）對(duì)一切， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（I）根據(jù)切線方程與直線平行得到切線的斜率為2，即可得到，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)把代入即可求出的值得到函數(shù)的解析式；（II）令求出的值為，由函數(shù)定義域，所以在和上討論函數(shù)的增減性，分兩種情況：當(dāng)屬于得到函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)為單調(diào)增得到函數(shù)的最小值為，求出值即可；（III）把的解析式代入不等式中解出，然后令，求出時(shí)的值，然后在定義域上分區(qū)間討論函數(shù)的增減性，求出的最大值， 要大于等于的最大值即為不等數(shù)恒成立，即可求出的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由點(diǎn)處的切線方程為直線平行，

得該切線斜率為2，即.

又，令， ，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，顯然時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

①時(shí)， ；

②時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

因此 ；

所以

（Ⅲ）對(duì)一切， 恒成立，

又， ，

即.

設(shè)， .

則 ，

由得或， ， ， 單調(diào)遞增，

， ， 單調(diào)遞減， ， ， 單調(diào)遞增，

，且 ，

所以.

因?yàn)閷?duì)一切， 恒成立，

.

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.