【題目】已知元集合
的一些子集滿足:每個子集至少含2個元素,每兩個不同子集的交集至多含2個元素,記這些子集的元素個數(shù)的立方和為
.問:是否存在不小于3的正整數(shù)
,使
的最大值等于2009的方冪?說明你的理由.
【答案】見解析
【解析】
設(shè)取最大值時,對應(yīng)有
個子集
.則
.
若存在某個,使
,不妨設(shè)為
,將
的所有三元子集記為
,則
.
對任意的,有
.
對任意的,有
.
由已知,對任意的,
,有
.
故可用替換原先的
,形成新的子集族.
因
,
所以,替換后所有集合元素個數(shù)的立方和增加,這與的最大性矛盾.
于是,當(dāng)取最大值時,每個子集元素的個數(shù)都不大于3.
又取一切的二元子集和三元子集形成的子集族滿足題意,于是,它們的元素個數(shù)的立方和為
.
假設(shè).則
. ①
若是偶數(shù),則
是偶數(shù).從而,式①左邊是4的倍數(shù),矛盾.
所以,是奇數(shù).
記,則
是10的約數(shù).
結(jié)合式①知.
又因,
,所以,當(dāng)
時,式①左邊的三個因數(shù)的質(zhì)因子互不相同,故只可能
.此時,
,而式①右邊不含質(zhì)因子3,矛盾.
綜上,不存在不小于3的正整數(shù),使
的最大值等于2009的方冪.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十九大指出,必須樹立“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念,這一理念將進一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展以下是近幾年我國新能源汽車的年銷量數(shù)據(jù)及其散點圖
如圖所示
:
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
新能源汽車的年銷量 |
(1)請根據(jù)散點圖判斷與
中哪個更適宜作為新能源汽車年銷量
關(guān)于年份代碼
的回歸方程模型?
給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立
關(guān)于
的回歸方程,并預(yù)測2019年我國新能源汽車的年銷量
精確到
附令,
10 | 374 | 851.2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級 | 1級優(yōu) | 2級良 | 3級輕度污染 | 4級中度污染 | 5級重度污染 | 6級嚴重污染 |
該社團將該校區(qū)在2018年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如圖,把該直方圖所得頻率估計為概率.
(1)請估算2019年(以365天計算)全年該區(qū)域空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計算);
(2)該校2019年6月7、8日將作為高考考場,若這兩天中某天出現(xiàn)5級重度污染,需要凈化空氣費用8000元,出現(xiàn)6級嚴重污染,需要凈化空氣費用12000元,記這兩天凈化空氣總費用為元,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“勾股定理”在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”,三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中注釋了其理論證明,其基本思想是圖形經(jīng)過割補后面積不變.即通過如圖所示的“弦圖”,將勻股定理表述為:“勾股各自乘,并之,為弦實,開方除之,即弦”(其中分別為勾股弦);證明方法敘述為:“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實”,即
,化簡得
.現(xiàn)已知
,
,向外圍大正方形
區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢,飛鏢落在中間小正方形
內(nèi)的概率是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地有A,B、C、D四人先后感染了新型冠狀病毒,其中只有A到過疫區(qū),B肯定是受A感染的,對于C,因為難以判定他是受A還是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是,同樣也假設(shè)D受A、B和C感染的概率都是
.在這種假定之下,B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量,寫出X的可能取值為______,并求X的均值(即數(shù)學(xué)期望)為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
,
)的圖像經(jīng)過點
,且關(guān)于直線
對稱,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 在
上是減函數(shù)
B. 函數(shù)的最小正周期為
C. 的解集是
,
D. 的一個對稱中心是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點在坐標原點,其焦點
在
軸正半軸上,
為直線
上一點,圓
與
軸相切(
為圓心),且
,
關(guān)于點
對稱.
(1)求圓和拋物線
的標準方程;
(2)過的直線
交圓
于
,
兩點,交拋物線
于
,
兩點,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過直線上的點
作橢圓
的切線
,切點分別為
,聯(lián)結(jié)
.
(1)當(dāng)點在直線
上運動時,證明:直線
恒過定點
;
(2)當(dāng)時,定點
平分線段
.
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