(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)＝mx－,g(x)＝2lnx.

       (Ⅰ)當m＝2時，求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

       (Ⅱ)當m＝1時，證明方程f(x)＝g(x)有且僅有一個實數(shù)根；

       (Ⅲ)若xÎ(1,e]時，不等式f(x)－g(x)＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解：⑴ m＝2時，f(x)＝2x－,f¢(x)＝2＋,f¢(1)＝4,    …………………………1分

切點坐標為(1,0)，∴切線方程為y＝4x－4              ………………………………2分

⑵ m＝1時，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x－－2lnx,則h¢(x)＝1＋－＝≥0

∴h(x)在(0,＋∞)上是增函數(shù)。                         ………………………………4分

又h(e).h()＝－(－e＋2)2＜0, ∴h(x)在(,e)上有且只有一個零點  …………………5分

∴方程有且僅有一個實數(shù)根；                     ………………………6分

(或說明h(1)＝0也可以)

⑶ 由題意知，mx－－2lnx＜2恒成立，即m(x2－1)＜2x＋2xlnx恒成立，∵x2－1＞0

則當xÎ(1,e]時，m＜恒成立,                        ……………………7分

令G(x)＝，當xÎ(1,e]時，G¢(x)＝＜0, ……………………9分

則G(x)在xÎ(1,e]時遞減，∴G(x)在xÎ(1,e]時的最小值為G(e)＝,……………11分

則m的取值范圍是(－∞,]                                  ………………12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文） （本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•自貢三模）（本小題滿分12分＞
設平面直角坐標中，O為原點，N為動點，|
ON
|=6，
ON
=
5
•
OM
．過點M作MM1丄y軸于M1，過N作NN1⊥x軸于點N1，
OT
=
M1M
+
N1N
，記點T的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程：
（H）已知直線L與雙曲線C：5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第-象限）．線段OP交軌跡C于A，若
OP
=3
OA
，S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且。①求的最大值及最小值；②求的在定義域上的單調(diào)區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）

為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設.求：

（I）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2，

（注：利潤與投資單位是萬元）

（1）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關系式.（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入到A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元.

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