Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC, 點D是AB的中點.

（Ⅰ）求證：CD⊥平面A1ABB1；

（Ⅱ）求證：AC1∥平面CDB1；

（Ⅲ）線段AB上是否存在點M，使得A1M⊥平面CDB1？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.(3)見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知先證明CD⊥AB，又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥CD，且AB∩AA1=A，即可證明CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）連結BC1，設BC1與B1C的交點為E，連接DE，證得DE∥AC1；由線面平行的判定定理即可證明AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）存在點M為B，由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB1，又A1BA1ABB1，可得CD⊥A1B，由已知可得A1A：AB=BD：BB1=1: ，即證明A1B⊥B1D，又CD∩B1D=D，從而證明A1B⊥平面CDB1．

試題解析：

證明：（Ⅰ）∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1, ∵AC＝BC，點D是AB的中點，∴CD⊥AB, 面ABC面A1ABB1 ＝AB ∴CD⊥平面A1ABB1

（Ⅱ）連結BC1，設BC1與B1C的交點為E，連結DE．∵D是AB的中點，E是BC1的中點，∴DE∥AC1

∵DE平面CDB1 , AC1平面CDB1, ∴AC1∥平面CDB1.

（Ⅲ）存在點M為B. 由（Ⅰ）知 CD⊥平面A1ABB，又 A1B平面A1ABB，∴CD⊥A1B

∵AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，點D是AB的中點．

∴A1A : AB＝BD : BB1＝1: , ∴A1B⊥B1D, 又CDB1D＝D, ∴A1B⊥平面CDB1.