【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)證明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直線AD與平面APC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ).
【解析】
(I)取的中點(diǎn),連接,通過證明平面得出;
(II)以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,通過計(jì)算與的夾角得出與平面所成角.
(I)證明:取AC的中點(diǎn)M,連接PM,BM,
∵AB=BC,PA=PC,
∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,
∴AC⊥平面PBM,
∵BP平面PBM,
∴AC⊥BP.
(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,
∴∠ABC=120°,
∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,
又AC⊥BM,∴BM∥CD.
∵PA=PC,CM,∴PM,
∵PB,∴cos∠BMP,∴∠PMB=120°,
以M為原點(diǎn),以MB,MC的方向?yàn)?/span>x軸,y軸的正方向,
以平面ABCD在M處的垂線為z軸建立坐標(biāo)系
則A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),
∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),
設(shè)平面ACP的法向量為(x,y,z),則,即,
令x得(,0,1),
∴cos,,
∴直線AD與平面APC所成角的正弦值為|cos,|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐,平面,,,.
(1)求證:平面;
(2)求證:在線段上存在一點(diǎn),使得,并指明點(diǎn)的位置;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓的左焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),則在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使得直線的斜率互為相反數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,也請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱中,底面是平行四邊形, 點(diǎn),分別在棱,上,且,.
(1)求證:平面;
(2)若,,,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,△BCD是等邊三角形.如圖②,將△BCD沿BC折起,使平面BCD⊥平面ABC,記BC的中點(diǎn)為E,BD的中點(diǎn)為M,點(diǎn)F、N在棱AC上,且AF=3CF,C.
(1)試過直線MN作一平面,使它與平面DEF平行,并加以證明;
(2)記(1)中所作的平面為α,求平面α與平面BMN所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出下列結(jié)論:
(1)若對(duì)任意,且,都有,則為R上的減函數(shù);
(2)若為R上的偶函數(shù),且在內(nèi)是減函數(shù), (-2)=0,則>0解集為(-2,2);
(3)若為R上的奇函數(shù),則也是R上的奇函數(shù);
(4)t為常數(shù),若對(duì)任意的,都有則關(guān)于對(duì)稱。
其中所有正確的結(jié)論序號(hào)為_________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線焦點(diǎn)重合,且橢圓的離心率為,過軸正半軸一點(diǎn) 且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)使以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在說明理由.
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