Question

已知函數(shù)（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為2680，試求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)：
（1）是否存在實數(shù)b，使得f（x）在為增函數(shù)，為減函數(shù)，若存在，求出b的值，若不存在，請說明理由；
（2）如果當x≥0時，都有f（x）≤0恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）第一問根據(jù)函數(shù)解析式的特征可以判斷b=0，再把函數(shù)變形后利用三角函數(shù)有界性來求解出函數(shù)的最值．
（II）第二問利用f（x）為奇函數(shù)求出a=0（1）中因為x=是函數(shù)的極值即得出b=0（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性再利用其求出函數(shù)最值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在x∈R上存在最大值和最小值，
∴b=0（否則f（x）值域為R），
∴⇒3y²-4ay+a²-1≤0，
又△=4a²+12＞0，由題意有，
∴a=2010；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，∵x∈R，∴f（0）=0⇒a=0，
∴，，
（1）若?b∈R，使f（x）在（0，）上遞增，在（，π）上遞減，
則，
∴b=0
并且當時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
當時f'（x）＜0，f（x）遞減，
∴當b=0時滿足題意．
（2）①
△=4[（1-2b）²+b（1-4b）]=4（1-3b）
若△≤0，即，則f'（x）≤0對?x≥0恒成立，這時f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴f（x）≤f（0）=0，
②若b＜0，則當x≥0時，-bx∈[0，+∞），，不可能恒小于等于0，
③若b=0，則不合題意，
④若，
則，f'（π）=-b-1＜0，
∴?x∈（0，π），使f'（x）=0，x∈（0，x）時，f'（x）＞0，
這時f（x）遞增，f（x）＞f（0）=0，不合題意，
綜上．
點評：導數(shù)解三角函數(shù)題目，不僅方法新穎，而且簡單易懂，便于掌握．常見的三角函數(shù)有關(guān)的極（最）值、三角函數(shù)的單調(diào)性若能從導數(shù)這一角度去考慮將給我們展示一種全新的視野．