Question

【題目】如圖，四邊形是直角梯形， ，又，直線與直線所成的角為．

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析.（2）.

【解析】試題分析：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）取BC的中點N，連MN．∵，∴，∴平面ABC．作

，交AC的延長線于H，連結MH．由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．∵直線AM與直線PC所成的角為，∴在中， ．

在中， ．

在中， ．

在中， ．

在中，∵，∴．

故二面角的余弦值為．13分

方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分

（2）在平面ABC內，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．設，則． ． 5分

∵，

且，∴，得，∴． 8分

設平面MAC的一個法向量為，則由得得∴． 10分

平面ABC的一個法向量為． 12分

顯然，二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．13分