【題目】如圖,設(shè)橢圓(
)的左、右焦點分別為
,點
在橢圓上,
,
,
的面積為
.
(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在軸上的圓,使圓在
軸的上方與橢圓
有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點?若存在,求圓的方程,若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)由題設(shè)知其中
由,結(jié)合條件
的面積為
,可求
的值,再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得
的值,從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)假設(shè)存在圓心在軸上的圓,使圓在
軸的上方與橢圓兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點;設(shè)圓心在
軸上的圓與橢圓在
軸的上方有兩個交點為
由圓的對稱性可知
,利用
在圓上及
確定交點的坐標(biāo),進而得到圓的方程.
解:(1)設(shè),其中
,
由得
從而故
.
從而,由
得
,因此
.
所以,故
因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(2)如圖,設(shè)圓心在軸上的圓
與橢圓
相交,
是兩個交點,
,
,
是圓
的切線,且
由圓和橢圓的對稱性,易知
,
由(1)知,所以
,再由
得
,由橢圓方程得
,即
,解得
或
.
當(dāng)時,
重合,此時題設(shè)要求的圓不存在.
當(dāng)時,過
分別與
,
垂直的直線的交點即為圓心
,設(shè)
由得
而
故
圓的半徑
綜上,存在滿足條件的圓,其方程為:
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的離心率為
,頂點為
,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)是橢圓
上除頂點外的任意點,直線
交
軸于點
,直線
交
于點
.設(shè)
的斜率為
,
的斜率為
,試問
是否為定值?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A、B兩點.若AB的中點坐標(biāo)為(1,﹣1),則E的方程為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(
sin
,1),
=(cos
,cos2
),f(x)=
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將f(x)的圖象向右平移 個單位長度得到g(x)的圖象,若g(x)﹣k≤0在區(qū)間[0,
]上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l過點P(1,0,﹣1),平行于向量=(2,1,1),平面α過直線l與點M(1,2,3),則平面α的法向量不可能是( 。
A.(1,﹣4,2)
B.(,-1,
)
C.(-,1,-
)
D.(0,﹣1,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù) (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),
.
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設(shè),.已知直線
是曲線
的切線,且函數(shù)
上是增函數(shù).
(i)求實數(shù)的值;
(ii)求實數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,設(shè)函數(shù)
.
(1)當(dāng)時,求
的極值點;
(2)討論在區(qū)間
上的單調(diào)性;
(3)對任意
恒成立時,
的最大值為1,求
的取值范圍.
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