Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）采用分離參數(shù)法得到，分析函數(shù)的單調(diào)性以及取值情況，即可計(jì)算出有且僅有一個零點(diǎn)時(shí)的取值范圍；

（2）化簡不等式得到，對其中的與的關(guān)系作分類討論，得到滿足的不等關(guān)系，從而確定出滿足的關(guān)于的不等關(guān)系，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)分析并求解出最大值.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

由題意得，即，

令，則，解得，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則或時(shí)，在上有且只有一個零點(diǎn)．

（2）由已知條件得．①

(i)若，則對任意常數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，可得，因此①式不成立．

(ii)若，則．

(iii)若，設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，．

從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

故有最小值．

所以原不等式等價(jià)于．②

因此．

設(shè)，則．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得最大值．

從而，即，

當(dāng)時(shí)，②式成立，故當(dāng)時(shí)，．

綜上可知，的最大值為．