【題目】已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為
.
(1)當(dāng)時(shí),若函數(shù)
在
上有且只有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),若
,求
的最大值.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)采用分離參數(shù)法得到,分析函數(shù)
的單調(diào)性以及取值情況,即可計(jì)算出
有且僅有一個零點(diǎn)時(shí)
的取值范圍;
(2)化簡不等式得到,對其中的
與
的關(guān)系作分類討論,得到
滿足的不等關(guān)系,從而確定出
滿足的關(guān)于
的不等關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)分析并求解出最大值.
解:(1)當(dāng)時(shí),
,
由題意得,即
,
令,則
,解得
,
當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增,
,
當(dāng)
時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
則或
時(shí),
在
上有且只有一個零點(diǎn).
(2)由已知條件得.①
(i)若,則對任意常數(shù)
,當(dāng)
,且
時(shí),可得
,因此①式不成立.
(ii)若,則
.
(iii)若,設(shè)
,則
.
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
從而在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
故有最小值
.
所以原不等式等價(jià)于.②
因此.
設(shè),則
.
所以在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,故
在
處取得最大值.
從而,即
,
當(dāng)時(shí),②式成立,故當(dāng)
時(shí),
.
綜上可知,的最大值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
.
(1)判斷函數(shù):在
的單調(diào)性;
(2)對于區(qū)間上的任意不相等實(shí)數(shù)
、
,都有
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)已知不等式在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的最大值;
(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的零點(diǎn)個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
,
的部分圖象如圖所示,
,當(dāng)
,
時(shí),則
的最大值為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),
,Q為平面上的動點(diǎn),且
,線段
的中垂線與線段
交于點(diǎn)P.
求
的值,并求動點(diǎn)P的軌跡E的方程;
若直線l與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),且存在點(diǎn)
其中A,B,D不共線
,使得
,證明:直線l過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線
過原點(diǎn)且傾斜角為
.以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.在平面直角坐標(biāo)系
中,曲線
與曲線
關(guān)于直線
對稱.
(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線過原點(diǎn)且傾斜角為
,設(shè)直線
與曲線
相交于
,
兩點(diǎn),直線
與曲線
相交于
,
兩點(diǎn),當(dāng)
變化時(shí),求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是
,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為
軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線
過點(diǎn)
,傾斜角為
.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線與曲線
交于
,
兩點(diǎn),求
的值.
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