Question

【題目】某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為K（K為正整數(shù)）．
（1）設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時間；
（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)K的值，使完成訂單任務(wù)的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時間分別為T1（x），T2（x），T3（x）

∴ ， ，

其中x，kx，200﹣（1+k）x均為1到200之間的正整數(shù)

（2）

解：完成訂單任務(wù)的時間為f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定義域為

∴T1（x），T2（x）為減函數(shù)，T3（x）為增函數(shù)，T2（x）= T1（x）

①當k=2時，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }

∵T1（x），T3（x）為增函數(shù)，∴當 時，f（x）取得最小值，此時x=

∵ ， ， ，f（44）＜f（45）

∴x=44時，完成訂單任務(wù)的時間最短，時間最短為

②當k≥3時，T2（x）＜T1（x），

記 ，為增函數(shù)，φ（x）=max{T1（x），T（x）}

f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }

∵T1（x）為減函數(shù)，T（x）為增函數(shù)，∴當 時，φ（x）取得最小值，此時x=

∵ ， ，

∴完成訂單任務(wù)的時間大于

③當k＜2時，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }

∵T2（x）為減函數(shù)，T3（x）為增函數(shù)，∴當 時，φ（x）取得最小值，此時x=

類似①的討論，此時完成訂單任務(wù)的時間為 ，大于

綜上所述，當k=2時，完成訂單任務(wù)的時間最短，此時，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．

【解析】（1）設(shè)完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時間分別為T1（x），T2（x），T3（x），則可得 ， ， ；（2）完成訂單任務(wù)的時間為f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定義域為 ，可得T1（x），T2（x）為減函數(shù)，T3（x）為增函數(shù)，T2（x）= T1（x），分類討論：①當k=2時，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間；②當k≥3時，T2（x）＜T1（x）， 記 ，為增函數(shù)，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間；③當k＜2時，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{ }，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間，從而問題得解．