Question

設f（x）=log（a為常數）的圖象關于原點對稱
（1）求a的值；
（2）判斷函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）的單調性并證明；
（3）若對于區(qū)間[3，4]上的每一個x的值，f（x）＞（）^x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得，f（x）為奇函數，故有 f（-x）=-f（x），即 =-，
即=，∴=，解得a=±1．   …
經檢驗，當a=1時不合條件，故a=-1．
（2）由（1）可得f（x）=log ，函數在區(qū)間（1，+∞）內單調遞增．
證明：令g（x）==1+，由于在 區(qū)間（1，+∞）內單調遞減，
故函數g（x）在區(qū)間（1，+∞）內單調遞減，故函數f（x）=log在區(qū)間（1，+∞）內單調遞增．
（3）令h（x）=f（x）-，則由（2）得h（x）在[3，4]上單調遞增，
故g（x）的最小值為g（3）=-．
 m＜-．
分析：（1）由題意可得，f（x）為奇函數，故有 f（-x）=-f（x），即=-，化簡可得=，由此解得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=log，令 g（x）==1+，由于在 區(qū)間（1，+∞）內單調遞減，可得函數g（x）在區(qū)間（1，+∞）內
單調遞減，從而得到函數f（x）=log在區(qū)間（1，+∞）內單調遞增．
（3）令h（x）=f（x）-，則由（2）得h（x）在[3，4]上單調遞增，故g（x）的最小值為g（3），運算求得結果．
點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性，汗水肚餓恒成立問題，求函數的值域，屬于中檔題．