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【題目】已知函數.

（1）當時，討論的零點情況；

（2）當時，記在上的最小值為m，求證：.

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）見解析

【解析】

(1)必有一個零點，可通過分析的零點得到的零點情況；

(2)對求導，分析導函數中的正負情況，得到的單調性，由此可計算出的表示，再次構造關于的新函數求解出的范圍即可.

（1）的定義域為.令，則.分情況討論：

①當時，，則，.

所以在上有三個零點，分別為，和1.

②當時，，

所以在上有兩個零點，分別為.

③當時，，所以，對，恒成立.

從而，在上有一個零點1.

綜上所述：當時，有三個零點：，和1；

當時，有兩個零點：，；當時，有一個零點為：；

（2）當時，，定義域為.

則.

當時，，令，.

所以在上單調遞增.∵，，

由零點存在性定理，存在，使得，即

故當時，；當時，.

∴在上單調遞減，在上單調遞增.

所以，.

令，則.

所以在上單調遞減.故，而，，

從而，即.

練習冊系列答案
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