Question

（2013•浙江二模）已知函數f(x)=

x+ 1 x ，x＞0 x3+9，x≤0

，若關于x的方程f（x²+2x）=a（a∈R）有六個不同的實根，則a的取值范圍是（　�。�

A．（2，8]

B．（2，9]

C．（8，9]

D．（8，9）

Answer 1

分析：令t=x²+2x，則t≥-1，f（t）=

t+ 1 t ， t＞0 t3+9 ，-1≤t≤0

．由題意可得，函數f（t）的圖象與直線y=a 有3個不同的交點，且每個t值有2個x值與之對應，數形結合可得a的取值范圍．

解答：解：令t=x²+2x=（x+1）²-1，則t≥-1，
函數f（t）=

t+ 1 t ， t＞0 t3+9 ，-1≤t≤0

．
由題意可得，函數f（t）的圖象與直線y=a 有3個不同的交點，
且每個t值有2個x值與之對應，如圖所示：
由于當t=-1時，f（t）=8，此時，t=-1對應的x值只有一個x=-1，不滿足條件，故a的取值范圍是 （8，9]，
故選C．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了數形結合的數學思想及等價轉化的數學思想，屬于中檔題．