Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)（常數(shù)）.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求實數(shù)的最大整數(shù)值.

Answer 1

【答案】（1）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2）見解析.

【解析】試題分析：

（1）當(dāng)時，（），∴，據(jù)此可得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

（2）原問題等價于對于恒成立，，分類討論：①當(dāng)時，由函數(shù)的單調(diào)性可得；②當(dāng)時，，則，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式可得在上存在唯一使得，且，即最大整數(shù)值為2.

試題解析：

（1）當(dāng)時，（），∴，

令，有，∴在上為增函數(shù)，

令，有，∴在上為減函數(shù)，

綜上，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

（2）∵對于恒成立，

即對于恒成立，

由函數(shù)的解析式可得：，分類討論：

①當(dāng)時，在上為增函數(shù)，∴ ，

∴恒成立，∴；

②當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

∴，∴，

∴，

設(shè)，

∴，

∴在上遞增，而，

，

∴在上存在唯一使得，且，

∵，∴最大整數(shù)值為2，使，即最大整數(shù)值為2，

綜上可得：實數(shù)的最大整數(shù)值為2，此時有對于恒成立.