Question

【題目】折紙與數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系，吸引了人們的廣泛興趣．因紙的長寬比稱為白銀分割比例，故紙有一個白銀矩形的美稱．現(xiàn)有一張如圖1所示的紙，．

分別為的中點(diǎn)，將其按折痕折起（如圖2），使得四點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，折得到一個如圖3所示的三棱錐．記為的中點(diǎn)，在中，為邊上的高．

（1）求證：平面；

（2）若分別是棱上的動點(diǎn)，且．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）通過證明，可得到平面ACD；

（2）因?yàn)?/span>且三棱錐的高為定值，所以當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，由此可確定M，N 兩點(diǎn)為AB，BC的中點(diǎn)，接著通過建立空間直角坐標(biāo)系求解，可得到本題答案.

（1）連接．設(shè)，

則，翻折后的．

在中，，，為的中點(diǎn)，

∴．又∵在中，，

∴為的中點(diǎn)，∴．

∵平面，平面，

∴平面．

（2）∵且三棱錐的高為定值，

∴最大時(shí)，三棱錐的體積取得最大值．

設(shè)，所以

又∵為定值，∴當(dāng)時(shí)，最大，即三棱錐的體積最大．此時(shí)分別是上的中點(diǎn)，

由（1）可得，，∴．

∵，，∴．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

，

．

設(shè)平面的一個法向量為．

∴，∴

取，則，∴平面的一個法向量為．

設(shè)平面的一個法向量為．

∴，∴

取，則，

∴平面的一個法向量為．

則．

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．