【題目】已知函數(shù)（，）

（1）討論的單調性；

（2）若對任意，恰有一個零點，求的取值范圍.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）討論的范圍，得出的解的情況，從而得出的單調區(qū)間；
（2）分離參數(shù)可得，令，求出的單調性和值域，從而可得出的范圍．

解法一：（1）依題意，，

令，，

①當時，，，在單調遞增；

②當時，，由得，，

因為，所，設，，

則當時，，所以在單調遞增；

當時，，所以在單調遞減；

當時，，所以在單調遞增；

綜上，當時，在單調遞增；

②當時，在單調遞增，

在單調遞減，在單調遞增.

（2）由得，，記，則，

（i）當時，由（1）知，在單調遞增，

所以在單調遞增，又因為，

當時，，時，

所以當時，對任意恰有一個零點.

（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，

在單調遞增，其中，，

所以，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

，所以，

所以極大

極小，

又因為當時，，時，

所以對任意，恰有一個零點，等價于恒成立或恒成立.

設，則，

當時，，所以在單調遞增，

當時，，所以在單調遞減，

又，，

因為，所以，所以，，

所以的值域為，的值域為，

即的值域為，的值域為，

所以，所以，

綜上，的取值范圍為.

解法二：（1）同解法一；

（2）（i）當時，由（1）知，在單調遞增，

又因為，

所以取，則，取，則，

所以，所以在恰有一個零點，所以；

（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，

在單調遞增，其中，，

，所以，

所以極大，

極小，

設，則，

當時，，所以在單調遞增，+

當時，，所以在單調遞減，

又，，

因為，所以，所以，，

①當時，，，

即，，所以當時，，

在不存在零點，

當時，取，則，

又因為，所以在恰有一個零點，所以恰有一個零點；.

②當時，因為，當時，，

所以，所以在恰有一個零點，

當時，，

所以，所以在恰有一個零點，

即，則，

則，

所以在單調遞減，所以，

所以，即，

因為，，且在單調遞減，

所以，即，所以，

所以，因為，，，

所以存在，滿足，所以，，

所以

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