Question

【題目】已知二次函數(shù)對(duì)任意的都有，且．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)．

①若存在實(shí)數(shù)，，使得在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且取值范圍也為，求的取值范圍；

②若函數(shù)的零點(diǎn)都是函數(shù)的零點(diǎn)，求的所有零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ；②見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）先設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題意列出系數(shù)對(duì)應(yīng)的方程組，求解，即可得出結(jié)果；

（2）①由（1）可得:，對(duì)稱(chēng)軸，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，得到或，分別研究和兩種情況，結(jié)合題中條件，以及二次函數(shù)性質(zhì)，即可得出結(jié)果；

②先設(shè)為的零點(diǎn)，由題意得到，即，求出或，分別研究和兩種情況，即可得出結(jié)果.

（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，

則，

由得恒成立，又，

所以，所以，所以；

（2）①由（1）可得:，對(duì)稱(chēng)軸，在區(qū)間上單調(diào)，

所以或，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)增，所以，即為的兩個(gè)根，所以只要有小于等于2兩個(gè)不相等的實(shí)根即可，

所以要滿(mǎn)足，得

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減，所以，即

兩式相減得，因?yàn)?/span>，所以，

所以，，得；

綜上，的取值范圍為

②設(shè)為的零點(diǎn)，則，即，得或，

當(dāng)時(shí)，

所以所有零點(diǎn)為；

當(dāng)時(shí)，

由得，

所以所有零點(diǎn)為。