【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60,G為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:FG||平面BED;
(Ⅱ)求證:平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)詳見解析(Ⅲ)
【解析】
試題(Ⅰ)證明線面平行,一般利用線面平行判定定理,即從線線平行出發(fā)給予證明,而線線平行尋找與論證,往往結(jié)合平幾知識(shí),如本題構(gòu)造一個(gè)平行四邊形:取的中點(diǎn)為
,可證四邊形
是平行四邊形,從而得出
(Ⅱ)面面垂直的證明,一般轉(zhuǎn)化為證線面垂直,而線面垂直的證明,往往需多次利用線面垂直判定與性質(zhì)定理,而線線垂直的證明有時(shí)需要利用平幾條件,如本題可由余弦定理解出
,即
(Ⅲ)求線面角,關(guān)鍵作出射影,即面的垂線,可利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直,即面的垂線:過點(diǎn)
作
于點(diǎn)
,則
平面
,從而直線
與平面
所成角即為
.再結(jié)合三角形可求得正弦值
試題解析:(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn)為
,連接
,在
中,因?yàn)?/span>
是
的中點(diǎn),所以
且
,又因?yàn)?/span>
,所以
且
,即四邊形是平行四邊形,所以
,又
平面
,
平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)證明:在中,
,由余弦定理可
,進(jìn)而可得
,即
,又因?yàn)槠矫?/span>
平面
平面
;平面
平面
,所以
平面
.又因?yàn)?/span>
平面
,所以平面
平面
.
(Ⅲ)解:因?yàn)?/span>,所以直線
與平面
所成角即為直線
與平面
所成角.過點(diǎn)
作
于點(diǎn)
,連接
,又因?yàn)槠矫?/span>
平面
,由(Ⅱ)知
平面
,所以直線
與平面
所成角即為
.在
中,
,由余弦定理可得
,所以
,因此
,在
中,
,所以直線
與平面
所成角的正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統(tǒng)風(fēng)味小吃某小區(qū)超市銷售一款土筍凍,進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元,售價(jià)為每個(gè)20元.銷售的方案是當(dāng)天進(jìn)貨,當(dāng)天銷售,未售出的全部由廠家以每個(gè)10元的價(jià)格回購處理.根據(jù)該小區(qū)以往的銷售情況,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)已知該超市某天購進(jìn)了150個(gè)土筍凍,假設(shè)當(dāng)天的需求量為個(gè)
銷售利潤為
元.
(i)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(ii)結(jié)合上述頻率分布直方圖,以額率估計(jì)概率的思想,估計(jì)當(dāng)天利潤不小于650元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在五面體中,側(cè)面
是正方形,
是等腰直角三角形,點(diǎn)
是正方形
對(duì)角線的交點(diǎn)
,
且
.
(1)證明:平面
;
(2)若側(cè)面與底面
垂直,求五面體
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是菱形,點(diǎn)
在線段PC上,且三棱錐
的體積是四棱錐
的體積的
,
,
平面
.
(1)若是
的中點(diǎn),證明:直線
∥平面
;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以
為極點(diǎn),
軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
,直線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)
,直線
與曲線
分別交于
兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為
,求
的值;
(2)求曲線的內(nèi)接矩形周長的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)
的一個(gè)極值點(diǎn),求
的值;
(2)若在
上恒成立,求
的取值范圍;
(3)證明:(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)M,N分別為線段A1B,B1C的中點(diǎn).
(1)求證:MN∥平面AA1C1C;
(2)若∠ABC=90°,AB=BC=2,AA1=3,求點(diǎn)B1到面A1BC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增長該地一建設(shè)銀行統(tǒng)計(jì)連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額)得到下表:
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
儲(chǔ)蓄存款y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為便于計(jì)算,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理(令),得到下表:
時(shí)間t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
儲(chǔ)蓄存款z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)通過(1)中的方程,求出y關(guān)于x的回歸方程;
(3)用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底,該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少?
附:線性回歸方程,其中
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)及圓
.
(1)若直線過點(diǎn)
且與圓心
的距離為1,求直線
的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線
與圓
交于
兩點(diǎn),當(dāng)
時(shí),求以線段
為直徑的圓
的方程;
(3)設(shè)直線與圓
交于
兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)
,使得過點(diǎn)
的直線
垂直平分弦
?若存在,求出實(shí)數(shù)
的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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