Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ﹣k ln x，k＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）證明：若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1， ]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）= ﹣k ln x，k＞0f'（x）=

由f'（x）=0解得x=

f（x）與f'（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

x	（0， ）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	遞減		遞增

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為（0， ）；

f（x）在x= 處的極小值為f（ ）= ，無(wú)極大值

（2）證明：由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（ ）．

因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以 ，從而k≥e

當(dāng)k=e時(shí)，f（x）在區(qū)間（1， ）上單調(diào)遞減，且f（ ）=0

所以x= 是f（x）在區(qū)間（1， ）上唯一零點(diǎn)．

當(dāng)k＞e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞減，

∵ ，

所以f（x）在區(qū)間（1， ）上僅有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1， ]上僅有一個(gè)零點(diǎn)

【解析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，兩個(gè)不同單調(diào)性區(qū)間的交匯處，函數(shù)取得極值；（2）零點(diǎn)定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是f(x)=0的根.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．