【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形,,,,且,,

1)證明:平面

2)求點到平面的距離;

3)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2;(3

【解析】

1)首先取的三等分點,連結(jié),,根據(jù)題意得到,,即四邊形是平行四邊形,所以.再根據(jù)線面平行的判定即可證明平面.

2)首先證明平面,再分別以,軸,建立空間坐標系,求出,平面法向量,代入點到面的距離公式即可.

(3)分別求出平面和平面的法向量,代入二面角公式即可.

(1)

的三等分點,連結(jié),則

又因為,所以.

因為,所以,四邊形是平行四邊形.

所以,

又平面平面平面PAD,

所以平面.

(2)設(shè)點到平面的距離為

因為,,所以,

所以,因為,,

所以平面.

分別以,軸,建立空間坐標系,

,,,,.

,,.

設(shè)平面法向量

因為,所以

到平面的距離,

到平面的距離為

3,

設(shè)平面的法向量為,則

,即,

,,

設(shè)平面的法向量為,

,即,

所以,二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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(1)結(jié)合圖,寫出集合;

(2)根據(jù)以上信息,求出一臺凈水器在使用期內(nèi)更換二級濾芯的費用大于元的概率(以臺凈水器更換二級濾芯的頻率代替臺凈水器更換二級濾芯發(fā)生的概率);

(3)若在購買凈水器的同時購買濾芯,則濾芯可享受折優(yōu)惠(使用過程中如需再購買無優(yōu)惠).假設(shè)上述臺凈水器在購機的同時,每臺均購買個一級濾芯、個二級濾芯作為備用濾芯(其中,),計算這臺凈水器在使用期內(nèi)購買濾芯所需總費用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù),如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數(shù)也為個,則其中一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)應(yīng)分別是多少?

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