Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有唯一的極小值點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）且.（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，分類討論根據(jù)函數(shù)有唯一極小值點，最后求出實數(shù)的取值范圍；

（2）對所要證明的式子進行變形，構(gòu)造函數(shù)：，求導(dǎo)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性證明出結(jié)論.

解：，

，

，，

設(shè)，

當(dāng)時，，在時，，即，所以單調(diào)遞減，

在時，，，所以單調(diào)遞增，所以函數(shù)有唯一的極小值

點成立；

當(dāng)時，令，得，，

在時，，即，所以單調(diào)遞減，

在時，，，所以單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有唯一的極小值點成立；

當(dāng)時，令，得，，當(dāng)時不合題意，

則，且，即且，

設(shè)，，

在時，，即，所以單調(diào)遞減，

在時，，，所以單調(diào)遞增，

在時，，即，所以單調(diào)遞減，

所以函數(shù)有唯一的極小值點成立；

綜上所述，的取值范圍為且.

（2）令，，

則，

令，易知在上單增，且，

所以當(dāng)時，，從而，當(dāng)時，，從而，

在單減，在單增，則的最小值為，所以當(dāng)時，

，即，

即，所以，

所以.