已知在
與
處都取得極值.
(1)求,
的值;
(2)設(shè)函數(shù),若對(duì)任意的
,總存在
,使得、
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(1);(2)
.
解析試題分析:(1)根據(jù)條件,可得
,由
在
與
處都取得極值,可知
,故可建立關(guān)于
的二元一次方程組,從而解得
,此時(shí),需要代回檢驗(yàn)
是否確實(shí)是
的極值點(diǎn),經(jīng)檢驗(yàn)
符合題意,從而
;(2)由(1)可得由(1)知:函數(shù)
在
上遞減,
∴ ,因此問(wèn)題就等價(jià)于求使當(dāng)
時(shí),
恒成立的
的取值范圍,而二次函數(shù)
圖像的對(duì)稱(chēng)軸是
,因此需對(duì)
的取值作出以下三種情況的分類(lèi)討論:①:
;②:
;③
,分別用含
的代數(shù)式表示上述三種情況下
的最小值表示出來(lái),從而可以建立關(guān)于
的不等式,進(jìn)而求得
的取值范圍為
.
試題解析:(1)∵,∴
. 1分
∵在
與
處都取得極值,
∴,∴
4分
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),
,
∴函數(shù)在
與
處都取得極值,∴
6分;
(2)由(1)知:函數(shù)在
上遞減,
∴ 8分,
又 ∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是
,
①:當(dāng)時(shí):
,顯然有
成立, ∴
.
②:當(dāng)時(shí):
,∴
, 解得:
,
又∵ ,∴
.
③:當(dāng)時(shí):
,∴
, ∴
, 又
,∴
綜上所述: 12分,
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為
13分.
考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用;2.二次函數(shù)與恒成立問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù),其中
,求函數(shù)
在
上的最小值.(其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知是函數(shù)
的一個(gè)極值點(diǎn),其中
.
(1)與
的關(guān)系式;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)
的圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率恒大于
,求
的取值范圍.
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已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)
的極值點(diǎn),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)若函數(shù)在
上為單調(diào)增函數(shù),求
的取值范圍;
(3)設(shè)為正實(shí)數(shù),且
,求證:
.
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已知函數(shù)(
).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)請(qǐng)問(wèn),是否存在實(shí)數(shù)使
上恒成立?若存在,請(qǐng)求實(shí)數(shù)
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)(
)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在
處取得極值,不等式
對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),證明不等式
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
為圓周率,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求,
,
,
,
,
這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù);
(3)將,
,
,
,
,
這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列,并證明你的結(jié)論.
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