Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， 、分別為、的中點， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)為邊的中點，連接， ，∵， 分別為， 的中點，根據(jù)三角形中位線定理以及題設(shè)條件可證明四邊形為平行四邊形，可得，從而根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）先證明平面，知，從而可得三角形的面積為，三角形的面積為，利用等積變換可得 .

試題解析：（1）設(shè)為邊的中點，連接，

∵， 分別為， 的中點，

∴， ，

又∵， ，

∴， ，

∴ 四邊形為平行四邊形.

∴，

又平面， 平面，

∴平面，

（2）在直三棱柱中，

又，

平面， 平面， ，

∴平面，

知，可得三角形的面積為，三角形的面積為，

由（1）平面知： 到平面的距離等于到平面的距離

∴ .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.