Question

【題目】已知點，，動點滿足．

(1)求動點的軌跡的方程；

(2)設(shè)點為軌跡上異于原點的兩點，且．

①若為常數(shù)，求證：直線過定點；

②求軌跡上任意一點到①中的點距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用=2||，建立方程，化簡，即可求動點P的軌跡C的方程；

（2）①設(shè)直線的方程為，代入得，又

，可得，從而得到結(jié)果；②設(shè)，則點到點的距離滿足：，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得答案.

(1)設(shè)，則，，，

由，得，化簡得，

故動點的軌跡的方程為.

(2)①設(shè)，則，所以.

設(shè)直線的方程為，代入得，

從而，即，故直線的方程為，

所以直線過定點.

②設(shè)，則點到點的距離滿足：

，

，

因為，故當(dāng)即時，點到點的距離的最小值為；

當(dāng)即時，點到點的距離的最小值.