【題目】現(xiàn)有一張半徑為的圓形鐵皮,從中裁剪出一塊扇形鐵皮(如圖
陰影部分),并卷成一個深度為
的圓錐筒,如圖
.
(1)若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為,求圓錐筒的容積;
(2)當為多少時,圓錐筒的容積最大?并求出容積的最大值.
【答案】(1);(2)當
時,圓錐筒的容積的最大值為
.
【解析】
(1)計算出扇形的弧長,利用扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長可求出圓錐底面圓的半徑,利用勾股定理計算出圓錐的高,再利用圓錐的體積公式可計算出圓錐的容積;
(2)利用勾股定理得出圓錐的底面半徑為,可得出
,利用圓錐的體積公式計算出圓錐的容積
關于
的函數(shù),再利用導數(shù)可求出
的最大值,并求出對應的
的值.
設圓錐筒的半徑為,容積為
.
(1)由,得
,從而
,
所以.
答:圓錐筒的容積為;
(2)因為,
.
所以,即
,
.
因為,令
得,
(舍負值),列表如下:
極大值 |
所以,當時,
取極大值即最大值,且
的最大值為
.
答:當時,圓錐筒的容積的最大值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上頂點到左焦點
的距離為
.直線
與橢圓
交于不同兩點
、
(
、
都在
軸上方),且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當為橢圓與
軸正半軸的交點時,求直線
方程;
(3)對于動直線,是否存在一個定點,無論
如何變化,直線
總經過此定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若關于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的內接等邊三角形
的面積為
(其中
為坐標原點).
(1)試求拋物線的方程;
(2)已知點兩點在拋物線
上,
是以點
為直角頂點的直角三角形.
①求證:直線恒過定點;
②過點作直線
的垂線交
于點
,試求點
的軌跡方程,并說明其軌跡是何種曲線.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點在坐標原點
,對稱軸為
軸,焦點為
,拋物線上一點
的橫坐標為2,且
.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點作直線
交拋物線于
,
兩點,求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在圓上任取一點
,過點
作
軸的垂線段
,
為垂足.當點
在圓上運動時,線段
的中點
形成軌跡
.
(1)求軌跡的方程;
(2)若直線與曲線
交于
兩點,
為曲線
上一動點,求
面積的最大值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的內接等邊三角形
的面積為
(其中
為坐標原點).
(1)試求拋物線的方程;
(2)已知點兩點在拋物線
上,
是以點
為直角頂點的直角三角形.
①求證:直線恒過定點;
②過點作直線
的垂線交
于點
,試求點
的軌跡方程,并說明其軌跡是何種曲線.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓
(
),圓
(
),若圓
的一條切線
與橢圓
相交于
兩點.
(1)當,
時,若點
都在坐標軸的正半軸上,求橢圓
的方程;
(2)若以為直徑的圓經過坐標原點
,探究
是否滿足
,并說明理由.
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