Question

【題目】在直角坐標系中，，不在軸上的動點滿足于點為的中點。

(1)求點的軌跡的方程；

(2)設曲線與軸正半軸的交點為，斜率為的直線交于兩點，記直線的斜率分別為，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值0

【解析】

（1）解法一：設點的坐標為，可得出點，由，轉化為，利用斜率公式計算并化簡得出曲線的方程，并標出的范圍；

解法二：設點，得出，由知點在圓上，再將點的坐標代入圓的方程并化簡，可得出曲線的方程，并標出的范圍；

（2）先求出點的坐標，并設直線的方程為，設點、，將直線的方程與曲線的方程聯立，列出韋達定理， 利用斜率公式并代入韋達定理計算出來證明結論成立。

（1）解法一：設點，因為軸，為的中點，則，

，所以，，即，化簡得，

所以，的方程為；

解法二：依題意可知點的軌跡方程為，

設點，因為軸，為的中點，所以，，

所以，即，

所以，的方程為；

（2）依題意可知，設直線的方程為，

、，

由，得，

所以，，，

所以

，

所以，為定值。