Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為．

（1）求實(shí)數(shù)， 的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， 的取值范圍為；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，進(jìn)而可得，即可解出， 的值；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)的值進(jìn)行分類(lèi)討論，即可得的取值范圍；（3）結(jié)合（2），可證，進(jìn)而可證，即可證．

試題解析：（1）解：∵，其定義域?yàn)?/span>，

∴．

依題意可得解得．

（2）解： ，

∴．

① 當(dāng)時(shí)， ，則在上單調(diào)遞減，

∴．

② 當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減,

∴．

③當(dāng)時(shí)，則時(shí)，；時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

故當(dāng)時(shí)， 的最小值為． ∵．

∴．

綜上所述，存在滿足題意，其取值范圍為．

（3）證法1：由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減,

∴時(shí)，, 即．

∵,∴．．

∴． ∵,∴．

證法2：設(shè)，

則． 當(dāng)，，

∴在上單調(diào)遞∴．

∴時(shí)，．

, ∴．

, ∴．