(理)已知⊙:
和定點(diǎn)
,由⊙
外一點(diǎn)
向⊙
引切線
,切點(diǎn)為
,且滿足
.
(1)求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系;
(2)求線段長的最小值;
(3)若以為圓心所作的⊙
與⊙
有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)的⊙
方程.
(1);(2)
;(3)
解析試題分析:(1)連接OP,OQ,
則,在
中,
,且
,結(jié)合兩點(diǎn)之間距離公式可得關(guān)于
的等式;(2)在
中,
,是含有
的二元函數(shù),結(jié)合(1)可得關(guān)于
的一元函數(shù),求其最小值即可;(3)方法一:因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/95/4/ggzdv.png" style="vertical-align:middle;" />與⊙
有公共點(diǎn),則得圓心距和其半徑的關(guān)系
即
,要求半徑
的最小值,只需
最小,將
用兩點(diǎn)之間距離公式表示出來,求其最小值并求取的最小值時(shí)
,得⊙
的圓心,進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;方法二:由(1)知⊙
的圓心的軌跡方程為
:
,過點(diǎn)
作垂直于
的垂線,垂足為
,當(dāng)兩圓外切且以
為圓心時(shí),半徑最小,此時(shí)
,兩條直線求交點(diǎn)確定圓心,從而求出圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程.
試題解析:(1)連為切點(diǎn),
,由勾股定理有
,又由已知
,故
.即:
,化簡得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為:
;(2)由
,得
,
=
,故當(dāng)
時(shí),
即線段PQ長的最小值為
;
(3)方法一:設(shè)圓P的半徑為,
圓P與圓O有公共點(diǎn),圓O的半徑為1,
即
且
,而
,故當(dāng)
時(shí),
此時(shí),
,
,得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為
.
方法二:圓與圓
有公共點(diǎn),圓
半徑最小時(shí)為與圓外
切(取小者)的情形,而這些半徑的最小值為圓心
到直線
的距離減去1,圓心為
過原點(diǎn)與
垂直的直線
與
的交點(diǎn)
,
,又
:x-2y = 0,解方程組
,得
.即
,∴所求圓方程為
.
考點(diǎn):1、兩點(diǎn)之間距離公式;2、兩圓的位置關(guān)系;3、函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知兩直線l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,分別求滿足下列條件的a、b的值.
(1) 直線l1過點(diǎn)(-3,-1),且l1⊥l2;
(2) 直線l1與l2平行,且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1、l2的距離相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
光線從點(diǎn)射出,到
軸上的
點(diǎn)后,被
軸反射,這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)
,求
所在直線的方程及點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)(2,1),(6,3)
(1)求直線的方程
(2)圓C的圓心在直線上,并且與
軸相切于點(diǎn)(2,0), 求圓C的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn)
,
關(guān)于直線
的對稱點(diǎn)是圓
的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線
被橢圓
和圓
所截得的弦長分別為
,
.當(dāng)
最大時(shí),求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn),
的坐標(biāo)分別是
,
.直線
,
相交于點(diǎn)
,且它們的斜率之積為
.
(1)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)若過點(diǎn)的兩直線
和
與軌跡
都只有一個(gè)交點(diǎn),且
,求
的值;
(3)在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)
,
,使得點(diǎn)
到點(diǎn)
的距離與到點(diǎn)
的距離的比恒為
,若存在,求出定點(diǎn)
,
;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
在△中,點(diǎn)
,
,
,
為
的中點(diǎn),
.
(Ⅰ)求邊上的高所在直線的方程;
(Ⅱ)求所在直線的方程.
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