Question

（2009•崇明縣一模）某農(nóng)產(chǎn)品去年各季度的市場(chǎng)價(jià)格如下表：

季 度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
每噸售價(jià)（單位：元）	191.5	207.5	202.5	198.5

今年某公司計(jì)劃按去年市場(chǎng)價(jià)格的“平衡價(jià)m”（平衡價(jià)m是這樣的一個(gè)量：m與去年各季度售價(jià)差的平方和最小）收購(gòu)該種農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元（又稱(chēng)征稅率為10個(gè)百分點(diǎn)），預(yù)測(cè)可收購(gòu)a萬(wàn)噸．政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將稅率降低x個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．
（1）估算m的值（元/噸），并用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明你獲得結(jié)果的依據(jù)；
（2）寫(xiě)出稅收y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后不少于原計(jì)劃稅收的74.2%，試確定x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平衡價(jià)的定義：m與去年各季度售價(jià)差的平方和最小，即使（m-195.5）²+（m-200.5）²+（m-204.5）²+（m-199.5）²最小，展開(kāi)后配方可得，m取四個(gè)季度的市場(chǎng)價(jià)格的平均數(shù)即可；
（2）先寫(xiě)出降低稅率后的稅率及農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量、收購(gòu)總金額，從而進(jìn)一步寫(xiě)出故稅收y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式即得；
（3）依題意得出關(guān)于x的一元二次不等式，再解此二次不等式即可得x的取值范圍．從而問(wèn)題解決．

解答：解：（1）根據(jù)平衡價(jià)的定義有：

(m-191.5)2+(m-207.5)2+(m-202.5)2+(m-198.5)2 =4(m-200)2-191.52-207.52-202.52-198.52

∴m=200
由上可知，m取四個(gè)季度的市場(chǎng)價(jià)格的平均數(shù)時(shí)，m與去年各季度售價(jià)差的平方和最�。�
（2）降低稅率后的稅率為（10-x）%，
農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a（1+2x%）萬(wàn)噸，
收購(gòu)總金額為200a（1+2x%）
故y=200a（1+2x%）（10-x）%=20010000a（100+2x）（10-x）
=150a（100+2x）（10-x）（0＜x＜10）（0≤x≤10）
（3）200×a（1+2x%）（10-x）%≥200×a×10%×74.2%
所以0≤x≤3

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查構(gòu)造二次函數(shù)模型，函數(shù)解析式求解，同時(shí)考查配方法及解不等式，要注意自變量的實(shí)際取值范圍．