Question

【題目】關于函數，下列判斷正確的是（ ）

A.是的極大值點

B.函數有且只有1個零點

C.存在正實數，使得恒成立

D.對任意兩個正實數，，且，若，則

Answer 1

【答案】BD

【解析】

利用導數為工具，對選項逐一分析，由此確定正確選項.

（1）的定義域為，，所以在上遞減，在上遞增，所以是的極小值點.故A選項錯誤.

（2）構造函數，，所以在上遞減.而，，.所以有且只有一個零點.故B選項正確.

（3）構造函數.，由于，開口向下，和時，，即，時，故不存在正實數，使得恒成立，C選項錯誤.

（4）由（1）知，在上遞減，在上遞增， 是的極小值點.由于任意兩個正實數，，且，，故.令，.由得，即，即，解得，則.所以.要證，即證，即證，由于，所以，故即證①.構造函數（先取），；，；.所以在上為增函數，所以，所以在上為增函數，所以.故當時，.即證得①成立，故D選項正確.

故選：BD.