Question

【題目】已知圓：，直線過定點(diǎn).

（1）若與圓相切，求的方程；

（2）若與圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，又與：的交點(diǎn)為，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）證明見解析

【解析】

（1）先討論直線l1的斜率不存在，再討論直線l1的斜率存在，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；

（2）先聯(lián)立直線方程得，解出，再聯(lián)立，解出，然后利用兩點(diǎn)距離公式求解即可.

（1）①若直線l1的斜率不存在，即直線是，符合題意，

②若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1為，即，

圓心到直線l1的距離等于半徑2，即 ，解得，

故所求直線l1方程是或.

（2）直線l1與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線l1的方程為：，

由 ，得,

又直線與l1垂直，則直線所在的直線方程為 ，

聯(lián)立得 ，得.

由兩點(diǎn)的距離公式可得：

故為定值.