Question

【題目】設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)有且僅有個不同的零點，且，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)，對函數(shù)求導(dǎo)，求出，，進而可得切線方程；

（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，兩種情況，即可求出參數(shù)范圍；

（3）先由題意，得到有且僅有兩個不等于的不同零點，設(shè)，對函數(shù)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，推出有且僅有兩個不等實數(shù)根，且一個根小于，一個根大于，再由題意，得到，為的兩個不等實數(shù)根，推出，設(shè)，，，對其求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，進而可得出結(jié)果.

解：（1）當(dāng)時，，，，，

故的圖象在處的切線方程為，即.

（2）因為，

①若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則恒成立，得恒成立，

∵，∴，所以；

②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則恒成立，得恒成立，

∵，∴，所以；

綜上，的取值范圍為.

（3）函數(shù)的零點即為方程的實數(shù)根，

故或，由，得，

∴有且僅有兩個不等于的不同零點，

由，得，設(shè)，

則，由，得；由，得.

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故有且僅有兩個不等實數(shù)根，且一個根小于，一個根大于，

∵有且僅有個不同的零點，，

∴，為的兩個不等實數(shù)根，

∴，，兩式相減，得，∴，

兩式相加，得，

設(shè)，由且，得，，

設(shè)，，

則，設(shè)，，則，

設(shè)，，則在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，

則在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，

∴在上恒成立，則在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，

所以,,，即.