Question

【題目】如圖，三個(gè)校區(qū)分別位于扇形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)上，點(diǎn)Q是弧AB的中點(diǎn)，現(xiàn)欲在線段OQ上找一處開挖工作坑P（不與點(diǎn)O，Q重合），為小區(qū)鋪設(shè)三條地下電纜管線PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，記∠APQ＝θrad，地下電纜管線的總長(zhǎng)度為y千米．

（1）將y表示成θ的函數(shù)，并寫出θ的范圍；

（2）請(qǐng)確定工作坑P的位置，使地下電纜管線的總長(zhǎng)度最小．

Answer 1

【答案】（1）（2）P與O的距離為時(shí)，地下電纜管線的總長(zhǎng)度最小

【解析】

（1）首先根據(jù)Q為弧AB的中點(diǎn)，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，利用正弦定理得到，根據(jù)OA＝2，得到PA＝，OP＝，從而得到y(tǒng)＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，根據(jù)題意確定出；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，求得，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的最值.

（1）因?yàn)镼為弧AB的中點(diǎn)，由對(duì)稱性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，

又∠APO＝，∠OAP＝，

由正弦定理，得：，又OA＝2，

所以，PA＝，OP＝，

所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，

∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，

所以，；

（2）令，

，得：，

在上遞減，在上遞增

所以，當(dāng)，即OP＝時(shí)，有唯一的極小值，

即是最小值：＝2，

答：當(dāng)工作坑P與O的距離為時(shí)，地下電纜管線的總長(zhǎng)度最小．