Question

已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．
(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數；
(2)若(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]時，函數f(x)的解析式．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

解析試題分析：（1）只需證明.由函數f(x)的圖象關于直線對稱，可得，
即有．根據函數是定義在R上的奇函數，故有＝－．
從而由，得到，即f(x)是周期為4的周期函數．
(2)首先由函數f(x)是定義在R上的奇函數，得到f(0)＝0.
根據x∈[－1,0)時，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝.    
利用函數的周期性得到，x∈[－5，－4]時，函數f(x)的解析式.
試題解析：(1)證明：由函數f(x)的圖象關于直線對稱，有，
即有                                     2分
又函數f(x)是定義在R上的奇函數，故有＝－．
故，從而，即是周期為4的周期函數．                               6分
(2)由函數f(x)是定義在R上的奇函數，可知f(0)＝0.
時，.    
故時，                                    9分
時，.
從而，時，函數f(x)的解析式為.             12分
考點：函數的奇偶性、周期性