已知函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，當(dāng)時，試比較與2的大�。�
（Ⅲ）若函數(shù)有兩個極值點，（），求k的取值范圍，并證明．

（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（Ⅱ）；
（Ⅲ）實數(shù)k的取值范圍是；證明詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)其符號即可得其單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，，通過導(dǎo)數(shù)可得其范圍，從而得出與2的大小；（Ⅲ）函數(shù)有兩個極值點，，則，是的兩個根，即方程有兩個根.接下來就研究函數(shù)圖象特征，結(jié)合圖象便可知取何值時，方程有兩個根.

結(jié)合圖象可知，函數(shù)的兩個極值點，滿足.
，這里面有兩個變量，那么能否換掉一個呢？
由，得，利用這個關(guān)系式便可將換掉而只留：
，這樣根據(jù)的范圍，便可得，從而使問題得證.
試題解析：（Ⅰ）由可知，當(dāng)時，由于，，
故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)． 3分
（Ⅱ）當(dāng)時，，則，  4分
令，，
由于，故，于是在為增函數(shù)， 6分
所以，即在恒成立，
從而在為增函數(shù)，故． 8分
（Ⅲ）函數(shù)有兩個極值點，，則，是的兩個根，
即方程有兩個根，設(shè)，則，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增且；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增且；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減且．
要使有兩個根，只需．
故實數(shù)k的取值范圍是． 10分
又由上可知函數(shù)的兩個極值點

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極小值，且，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的零點；
（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區(qū)間內(nèi)，另一個在區(qū)間外，
求的取值范圍；
（3）已知且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝在x＝0，x＝處存在極值。
（Ⅰ）求實數(shù)a,b的值；
（Ⅱ）函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點A,B使得△AOB是以坐標(biāo)原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍；
(Ⅲ）當(dāng)c＝e時，討論關(guān)于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的實根個數(shù)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為實常數(shù)，函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個不同的零點；
（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）求證：且.（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（13分）已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中，曲線在點處的切線垂直于軸.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中且．
(Ⅰ) 當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)若時，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)，定義：，.其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值.若存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”.
（Ⅰ）若，試寫出，的表達(dá)式；
（Ⅱ）已知函數(shù)，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”.如果是，求出對應(yīng)的；如果不是，請說明理由；
（Ⅲ）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.

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