【題目】已知函數(shù)
是否存在
,使得
,按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)確定
的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
求實(shí)數(shù)
與正整數(shù)
,使得
在
內(nèi)恰有
個(gè)零點(diǎn).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)題意可得,所以可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷方程
在區(qū)間
內(nèi)是否有解處理,設(shè)
,判斷出函數(shù)
的單調(diào)性,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解.(2)結(jié)合題意可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究當(dāng)
時(shí),方程
的解的情況.然后利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的周期性進(jìn)行分析、求解后可得結(jié)論.
(1)∵,
∴,
所以.
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間
內(nèi)是否有解.
設(shè),
則,
因?yàn)?/span>,
所以
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
又,
所以在區(qū)間
內(nèi)存在唯一零點(diǎn)
,
即存在唯一的
滿足題意.
(2)由題意得.
令,
當(dāng),即
時(shí),
,從而
不是方程
的解.
所以方程等價(jià)于關(guān)于
的方程
,
下面研究當(dāng)時(shí),方程
的解的情況.
令,
,
則問(wèn)題等價(jià)于直線與曲線
的交點(diǎn)情況.
又,
令得
或
.
當(dāng)變化時(shí),
的變化情況如下表:
( | ||||||
+ | 0 | - | - | 0 | + | |
1 | -1 |
當(dāng)且
趨近于0時(shí),
趨向于
,
當(dāng)且
趨近于
時(shí),
趨向于
,
當(dāng)且
趨近于
時(shí),
趨向于
,
當(dāng)且
趨近于
時(shí),
趨向于
,
故當(dāng)時(shí),直線
與曲線
在
內(nèi)無(wú)交點(diǎn),在
內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),直線
與曲線
在
內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn),在
內(nèi)無(wú)交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),直線
與曲線
在
內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn),在
內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn).
由的周期性可知當(dāng)
時(shí),直線
與
在
內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn),
從而不存在正整數(shù),使
與
在
內(nèi)有2019個(gè)交點(diǎn).
又當(dāng)或
時(shí),直線
與
在
內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn),
由周期性知,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是橢圓
上任一點(diǎn),點(diǎn)
到直線
:
的距離為
,到點(diǎn)
的距離為
,且
,若直線
與橢圓
交于不同兩點(diǎn)
、
(
、
都在
軸上方),且
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)為橢圓與
軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線
的方程;
(3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論
如何變化,直線
總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓:
與圓
:
相切,并且橢圓
上動(dòng)點(diǎn)與圓
上動(dòng)點(diǎn)間距離最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線
,
,
與
交于
兩點(diǎn),
與圓
的另一交點(diǎn)為
,求
面積的最大值,并求取得最大值時(shí)直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
其中a實(shí)數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
.
1
當(dāng)
時(shí),求函數(shù)
在點(diǎn)
處的切線方程;
2
求
在區(qū)間
上的最小值;
3
若存在
,
,使方程
成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知三邊
,
,
的長(zhǎng)都是整數(shù),
,如果
,則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)是( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若集合具有以下性質(zhì):(1)
且
;(2)若
,
,則
,且當(dāng)
時(shí),
,則稱集合
為“閉集”.
(1)試判斷集合是否為“閉集”,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)設(shè)集合是“閉集”,求證:若
,
,則
;
(3)若集合是一個(gè)“閉集”,試判斷命題“若
,
,則
”的真假,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1,對(duì)任意n∈N*都有an+1=an+n+1,則=( 。
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱錐中,
底面
,
,
,
,
為
的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若二面角的大小為
,求三棱錐
的體積.
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